Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Calcule, justificando la respuesta, las matrices $X$ e $Y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\begin{cases} 3X + 2Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\[2ex] 2X - 3Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 12 \end{pmatrix} \end{cases}$

[2 puntos]

Se trata de un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas, que se resuelve por reducción igual que uno numérico. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para que los coeficientes de $Y$ sean opuestos.

$\begin{cases} 9X+6Y=3\begin{pmatrix}2&3\\-2&5\end{pmatrix}\\ 4X-6Y=2\begin{pmatrix}-3&2\\-10&12\end{pmatrix} \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$:

$13X= \begin{pmatrix}6&9\\-6&15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6&4\\-20&24\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&13\\-26&39\end{pmatrix}$

Dividiendo todos los elementos por 13:

$X= \begin{pmatrix}0&1\\-2&3\end{pmatrix}$

Con $X$ ya conocida se obtiene $Y$ de la primera ecuación:

$2Y= \begin{pmatrix}2&3\\-2&5\end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix}0&1\\-2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3\\-2&5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&3\\-6&9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\4&-4\end{pmatrix}$

$Y= \begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}$

Se comprueba la segunda ecuación:

$2X-3Y= \begin{pmatrix}0&2\\-4&6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3&0\\6&-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3&2\\-10&12\end{pmatrix}$

Las matrices buscadas son $X=\begin{pmatrix}0&1\\-2&3\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}$.