Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se quiere realizar un estudio sobre la proporción de hogares españoles con conexión de fibra óptica. Como dicha proporción es desconocida, asumimos de principio un valor $P = 0{,}5$.

Se pide determinar el número mínimo de hogares que hay que visitar si deseamos calcular un intervalo de confianza para dicha proporción con un nivel de confianza del 99 % y cuya longitud sea inferior a 0,14. Razone la respuesta. [2 puntos]

La longitud del intervalo de confianza para una proporción es el doble del error máximo admisible, de modo que la condición del enunciado se traduce en una desigualdad de la que se despeja el tamaño de la muestra.

$\text{Longitud}=2E=2z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{P(1-P)}{n}}$

Con un nivel de confianza del 99 % se tiene $1-\alpha=0{,}99$, es decir $\alpha=0{,}01$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=2{,}576$.



Con $P=0{,}5$ se impone que la longitud sea menor que $0{,}14$.

$2\cdot 2{,}576\sqrt{\dfrac{0{,}5\cdot 0{,}5}{n}}<0{,}14$

$5{,}152\cdot\dfrac{0{,}5}{\sqrt{n}}<0{,}14 \Rightarrow \dfrac{2{,}576}{\sqrt{n}}<0{,}14$

$\sqrt{n}>\dfrac{2{,}576}{0{,}14}=18{,}4$

$n>18{,}4^2=338{,}56$

Como el número de hogares debe ser entero, se toma el primer entero que supera ese valor.

Hay que visitar como mínimo 339 hogares para que el intervalo de confianza al 99 % tenga una longitud inferior a 0,14.