Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

La producción de tomates en parcelas de una zona de regadío se ajusta a una distribución normal con desviación típica 1 tonelada. Con objeto de estimar la producción media de la zona, se registran los datos de 36 parcelas que arrojan una producción media de 8,7 toneladas.

Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 90 %, para la producción media de tomates de las parcelas de la zona. Razone la respuesta. [2 puntos]

La producción por parcela sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=1$ tonelada. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=36$ y $\bar{x}=8{,}7$ toneladas. Con un nivel de confianza del 90 % se tiene $1-\alpha=0{,}9$, es decir $\alpha=0{,}1$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{36}}=\dfrac{1}{6}=0{,}17$

$E=1{,}645\cdot\dfrac{1}{6}=0{,}27$

$(8{,}7-0{,}27\ ,\ 8{,}7+0{,}27)=(8{,}43\ ,\ 8{,}97)$

Con un nivel de confianza del 90 %, la producción media de tomates de las parcelas de la zona está entre $8{,}43$ y $8{,}97$ toneladas.