Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Un club de fútbol tiene 200 abonados de gran antigüedad, 500 abonados con varios años de antigüedad y 300 nuevos abonados. Se pregunta a los abonados si están de acuerdo con una subida de los precios de los abonos a cambio de que el club ofrezca servicios adicionales. Se muestran favorables a la subida 80 abonados de gran antigüedad, 280 con varios años de antigüedad y 120 nuevos abonados. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que un abonado sea nuevo y favorable a la subida. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un abonado, que se sabe que es favorable a la subida, tenga una gran antigüedad en el club. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$G\equiv$ el abonado es de gran antigüedad,
$V\equiv$ el abonado tiene varios años de antigüedad,
$N\equiv$ el abonado es nuevo,
$F\equiv$ el abonado es favorable a la subida.

Ordenamos los recuentos del enunciado en una tabla de contingencia.

$$	$\text{Favorables}$	$\text{No favorables}$	$\text{Total}$ Gran antigüedad	80	120	200 Varios años	280	220	500 Nuevos	120	180	300 Total	480	520	1000

Los tres tipos de abonado forman un sistema completo de sucesos, y las probabilidades condicionadas salen de dividir cada fila por su total: $80/200=0{,}4$, $280/500=0{,}56$ y $120/300=0{,}4$.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un abonado sea nuevo y favorable a la subida. [1 punto]}$

Se pide la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol o, directamente, dividiendo la casilla de la tabla entre el total de abonados.

$P(N\cap F)=P(N)\cdot P(F/N)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12$

$P(N\cap F)=\dfrac{120}{1000}=0{,}12$

La probabilidad de que un abonado sea nuevo y favorable a la subida es $0{,}12$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un abonado, que se sabe que es favorable a la subida, tenga una gran antigüedad en el club. [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori. Primero se calcula la probabilidad de ser favorable con el teorema de la probabilidad total.

$P(F)=P(G)\cdot P(F/G)+P(V)\cdot P(F/V)+P(N)\cdot P(F/N)$

$P(F)=0{,}2\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}56+0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}08+0{,}28+0{,}12=0{,}48$

Se aplica ahora el teorema de Bayes.

$P(G/F)=\dfrac{P(G)\cdot P(F/G)}{P(F)}=\dfrac{0{,}08}{0{,}48}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$

Si el abonado es favorable a la subida, la probabilidad de que tenga una gran antigüedad en el club es $\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$.