Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Determine, razonando la respuesta, el área encerrada por la función $f(x) = 4 - x^2$ y el eje OX entre $x = 1$ y $x = 3$. [1 punto]

b) Determine, razonando la respuesta, las asíntotas de la función

$g(x) = \dfrac{3x^2 + 2}{4 - x^2}$

[1 punto]

$\textbf{a) Determine, razonando la respuesta, el área encerrada por la función } \boldsymbol{f(x)=4-x^2}\textbf{ y el eje OX entre } \boldsymbol{x=1}\textbf{ y } \boldsymbol{x=3}\textbf{. [1 punto]}$

Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambia el signo de la función y, con él, el de la integral.

$f(x)=0 \Rightarrow 4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2$

Solo $x=2$ pertenece al intervalo $[1,3]$, que queda dividido en dos tramos. Se estudia el signo de la función en cada uno.

$f(1)=3>0 \qquad f(3)=4-9=-5<0$



El área es la suma de los valores absolutos de las integrales en los dos tramos. Calculamos primero una primitiva.

$\int(4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Aplicando la regla de Barrow en cada tramo:

$\int_{1}^{2}(4-x^2)\,dx= \left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} =\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(4-\dfrac{1}{3}\right) =\dfrac{16}{3}-\dfrac{11}{3}=\dfrac{5}{3}$

$\int_{2}^{3}(4-x^2)\,dx= \left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{2}^{3} =(12-9)-\dfrac{16}{3} =3-\dfrac{16}{3}=-\dfrac{7}{3}$

$S=\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{3}=4$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=1$ y $x=3$ es de 4 unidades de superficie.

$\textbf{b) Determine, razonando la respuesta, las asíntotas de la función } \boldsymbol{g(x)=\dfrac{3x^2+2}{4-x^2}}\textbf{. [1 punto]}$

El denominador es justamente la función del apartado anterior, que se anula en $x=-2$ y en $x=2$, de modo que el dominio es $\mathbb{R}-\{-2,2\}$ y esos son los candidatos a asíntota vertical.

$\lim_{x\to 2}g(x)=\dfrac{12+2}{0}=\dfrac{14}{0}=\infty$

$\lim_{x\to -2}g(x)=\dfrac{12+2}{0}=\dfrac{14}{0}=\infty$

En los dos casos el numerador no se anula, así que las rectas $x=2$ y $x=-2$ son asíntotas verticales.

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador con el del denominador: los dos valen 2, luego el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}g(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2+2}{4-x^2} =\dfrac{3}{-1}=-3$

La recta $y=-3$ es asíntota horizontal por las dos ramas y, al haberla, la función no tiene asíntotas oblicuas.

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-2$ y $x=2$, y una asíntota horizontal, $y=-3$.