Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

La cantidad de pescado capturado en cierto lago en pequeñas embarcaciones, $P(x)$ (en kg), es una función de la longitud de la embarcación, $x$, que oscila entre 1 y 12 metros. La función que relaciona ambas magnitudes es la siguiente:

$P(x) = 3x^3 - 45x^2 + 144x + 230, \qquad 1 \le x \le 12$

Se pide, razonando las respuestas:

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la cantidad de pescado capturado en función de la longitud de la embarcación utilizada. [1,5 puntos]

b) Represente gráficamente la función $P(x)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la cantidad de pescado capturado en función de la longitud de la embarcación utilizada. [1,5 puntos]}$

La función crece donde su derivada es positiva y decrece donde es negativa, así que derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar el crecimiento.

$P'(x)=9x^2-90x+144$

$P'(x)=0 \Rightarrow 9(x^2-10x+16)=0 \Rightarrow x=\dfrac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=\dfrac{10\pm 6}{2}$

$\begin{cases} x=2\\ x=8 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[1,12]$ de esloras posibles. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$P'(1)=9-90+144=63>0 \qquad P'(5)=225-450+144=-81<0 \qquad P'(10)=900-900+144=144>0$



La cantidad de pescado capturado crece para embarcaciones de entre 1 y 2 metros y para las de entre 8 y 12 metros, es decir, en $(1,2)\cup(8,12)$, y decrece para las de entre 2 y 8 metros, es decir, en $(2,8)$. Hay, por tanto, un máximo relativo en $x=2$ y un mínimo relativo en $x=8$.

$\textbf{b) Represente gráficamente la función } \boldsymbol{P(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para dibujar la curva se calculan los valores en los extremos del intervalo y en los dos extremos relativos.

$P(1)=3-45+144+230=332\ \text{kg}$

$P(2)=24-180+288+230=362\ \text{kg}$

$P(8)=1536-2880+1152+230=38\ \text{kg}$

$P(12)=5184-6480+1728+230=662\ \text{kg}$

La captura parte de 332 kg con la embarcación más pequeña, sube hasta un máximo de 362 kg con 2 metros de eslora, cae hasta un mínimo de 38 kg con 8 metros y crece después hasta los 662 kg de la embarcación de 12 metros.