Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una pastelería se elaboran pasteles de tipo A y B. Cada pastel de tipo A necesita 6 gramos de azúcar y 3 gramos de levadura, con un beneficio de 4,5 euros. Cada pastel de tipo B se elabora con 4 gramos de azúcar y 4 de levadura, con un beneficio de 5,5 euros.

Sabiendo que solo dispone de 240 gramos de azúcar y 180 gramos de levadura, calcule, justificando la respuesta, el número de pasteles de cada tipo que debe fabricar para obtener unos beneficios máximos así como el valor de dichos beneficios máximos. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de pasteles de tipo A e $y$ al número de pasteles de tipo B.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Azúcar (g)}$	$\text{Levadura (g)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Tipo A	$6x$	$3x$	$4{,}5x$ Tipo B	$4y$	$4y$	$5{,}5y$ Totales	$6x+4y$	$3x+4y$	$4{,}5x+5{,}5y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=4{,}5x+5{,}5y$

Las restricciones son las existencias de azúcar y de levadura y que el número de pasteles no puede ser negativo.

$\begin{cases} 6x+4y\leq 240\\ 3x+4y\leq 180\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\3x+4y=180\end{cases} \Rightarrow 4y=180 \Rightarrow A(0,45)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}6x+4y=240\\3x+4y=180\end{cases} \Rightarrow 3x=60 \Rightarrow x=20,\ y=30 \Rightarrow B(20,30)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}6x+4y=240\\y=0\end{cases} \Rightarrow 6x=240 \Rightarrow C(40,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,45)=5{,}5\cdot 45=247{,}5\ \text{euros}$

$B(20,30)=4{,}5\cdot 20+5{,}5\cdot 30=90+165=255\ \text{euros}$

$B(40,0)=4{,}5\cdot 40=180\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(20,30)$.

La pastelería debe fabricar 20 pasteles de tipo A y 30 de tipo B, con lo que obtiene un beneficio máximo de 255 euros.