Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Resuelva, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3x - 2y + 4z = 3 \\ x + y - z = -2 \\ 2x - 3y + 2z = -1 \end{cases}$

[2 puntos]

Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelve por sustitución, despejando una variable de la ecuación más sencilla.

$\begin{cases} 3x-2y+4z=3\\ x+y-z=-2\\ 2x-3y+2z=-1 \end{cases}$

De la segunda ecuación se despeja $z$:

$z=x+y+2$

Se sustituye en la primera ecuación:

$3x-2y+4(x+y+2)=3 \Rightarrow 3x-2y+4x+4y+8=3 \Rightarrow 7x+2y=-5$

Y en la tercera:

$2x-3y+2(x+y+2)=-1 \Rightarrow 2x-3y+2x+2y+4=-1 \Rightarrow 4x-y=-5$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} 7x+2y=-5\\ 4x-y=-5 \end{cases}$

De la segunda se despeja $y=4x+5$ y se lleva a la primera:

$7x+2(4x+5)=-5 \Rightarrow 15x=-15 \Rightarrow x=-1$

$y=4(-1)+5=1 \qquad z=-1+1+2=2$

Se comprueban las tres ecuaciones: $-3-2+8=3$, $-1+1-2=-2$ y $-2-3+4=-1$.

El sistema es compatible determinado y su única solución es $x=-1$, $y=1$, $z=2$.