Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$ que cumpla la ecuación matricial $AX - B^t = C + 3X$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ agrupando en un miembro los dos términos que la contienen. Como en $AX$ la incógnita está multiplicada por la izquierda, se saca factor común por la izquierda con ayuda de la matriz identidad.

$AX-B^t=C+3X \Rightarrow AX-3X=C+B^t \Rightarrow (A-3I)\cdot X=C+B^t$

Calculamos las dos matrices que intervienen.

$A-3I= \begin{pmatrix}6&1\\2&4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}$

$B^t= \begin{pmatrix}4&3&1\\1&-2&5\end{pmatrix}$

$C+B^t= \begin{pmatrix}-1&-2&3\\1&4&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4&3&1\\1&-2&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1&4\\2&2&3\end{pmatrix}$

La matriz $A-3I$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$|A-3I|= \begin{vmatrix}3&1\\2&1\end{vmatrix} =3-2=1\neq 0$

$(A-3I)^{-1}=\dfrac{1}{|A-3I|}\cdot(\operatorname{Adj}(A-3I))^t = \begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}$

Como la incógnita queda multiplicada por la izquierda, se multiplica también por la izquierda por esa inversa.

$X=(A-3I)^{-1}\cdot(C+B^t)= \begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3&1&4\\2&2&3\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} 3-2&1-2&4-3\\ -6+6&-2+6&-8+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&4&1\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AX-B^t= \begin{pmatrix}6&-2&7\\2&14&6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4&3&1\\1&-2&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-5&6\\1&16&1\end{pmatrix}$

$C+3X= \begin{pmatrix}-1&-2&3\\1&4&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3&-3&3\\0&12&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-5&6\\1&16&1\end{pmatrix}$

La matriz que cumple la ecuación es $X=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&4&1\end{pmatrix}$.