Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El contenido de verdura de los botes de una marca de purés para bebés es una variable que se supone con distribución normal con desviación típica 23 gramos. Se seleccionan al azar 121 botes, registrándose el contenido en verdura de dichos botes, resultando una media de 146 gramos.

Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95 %, para la cantidad media de verduras que contienen dichos botes de puré. Razone la respuesta. [2 puntos]

El contenido de verdura sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=23$ gramos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=121$ y $\bar{x}=146$ gramos. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{23}{\sqrt{121}}=\dfrac{23}{11}=2{,}09$

$E=1{,}96\cdot\dfrac{23}{11}=4{,}10$

$(146-4{,}10\ ,\ 146+4{,}10)=(141{,}90\ ,\ 150{,}10)$

Con un nivel de confianza del 95 %, la cantidad media de verdura que contienen los botes de puré está entre $141{,}90$ y $150{,}10$ gramos.