Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El precio de cierto perfume, $P(x)$, (en euros) depende del porcentaje que contiene de la esencia de cierta flor, $x$, (en tanto por ciento), de acuerdo con la función

$P(x) = 4x^3 - 6x^2 - 24x + 90, \qquad 0 \le x \le 4$

Se pide determinar, razonando las respuestas, para qué porcentajes alcanza este perfume sus precios máximo y mínimo y a cuánto ascienden estos precios. [2 puntos]

El precio está definido en el intervalo cerrado $[0,4]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$P'(x)=12x^2-12x-24$

$P'(x)=0 \Rightarrow 12(x^2-x-2)=0 \Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}$

$\begin{cases} x=2\\ x=-1 \end{cases}$

Se descarta $x=-1$ por no pertenecer al intervalo de estudio, ya que un porcentaje no puede ser negativo. Estudiamos el signo de la derivada a un lado y a otro de $x=2$.

$P'(0)=-24<0 \qquad P'(3)=108-36-24=48>0$



El precio decrece en $(0,2)$ y crece en $(2,4)$, así que en $x=2$ hay un mínimo relativo. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo.

$P(0)=90\ \text{euros}$

$P(2)=4\cdot 8-6\cdot 4-48+90=32-24-48+90=50\ \text{euros}$

$P(4)=4\cdot 64-6\cdot 16-96+90=256-96-96+90=154\ \text{euros}$

El precio máximo del perfume es de 154 euros y se alcanza cuando contiene un 4 % de esencia; el precio mínimo es de 50 euros y corresponde a un 2 % de esencia.