Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Los beneficios de una empresa (en miles de euros) $B(t)$ durante los primeros 10 años dependen del tiempo transcurrido $t$ (en años) desde su creación según la función

$B(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 2A & 1 \le t < 6 \\ Bt & 6 \le t \le 10 \end{cases}$

Calcule, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la función $B(t)$ es continua y que en el año 8 obtuvo unos beneficios de 16 mil euros. [2 puntos]

En cada uno de los dos tramos la función es polinómica y, por tanto, continua. La continuidad solo puede fallar en $t=6$, que es donde cambia la expresión, así que se impone allí la igualdad de los límites laterales; la segunda condición la dan los beneficios del año 8.

El año 8 pertenece al segundo tramo, porque $6\leq 8\leq 10$, y eso determina $B$ directamente.

$B(8)=8B=16 \Rightarrow B=2$

Se impone ahora la continuidad en $t=6$.

$\lim_{t\to 6^-}B(t)=\lim_{t\to 6^-}(t^2-8t+2A)=36-48+2A=2A-12$

$\lim_{t\to 6^+}B(t)=\lim_{t\to 6^+}Bt=6B=6\cdot 2=12=B(6)$

Para que la función sea continua en $t=6$ los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$2A-12=12 \Rightarrow 2A=24 \Rightarrow A=12$

Se comprueban las dos condiciones con estos valores. En $t=6$: $36-48+24=12$ y $2\cdot 6=12$. En $t=8$: $2\cdot 8=16$ mil euros.

Las constantes buscadas son $A=12$ y $B=2$.