Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un taller de decoración se venden espejos y cuadros con un beneficio de 120 euros por cada espejo y 180 euros por cada cuadro. Dispone para la venta de 45 artículos en total entre ambos productos que, previamente, ha fabricado necesitando 1 hora para la fabricación de cada espejo y 4 horas para elaborar cada cuadro, con una disponibilidad de, como mucho, 60 horas.

Calcule el número de espejos y cuadros que debe vender para hacer máximos los beneficios así como el valor de dichos beneficios máximos. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de espejos e $y$ al número de cuadros.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Artículos}$	$\text{Horas}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Espejos	$x$	$x$	$120x$ Cuadros	$y$	$4y$	$180y$ Totales	$x+y$	$x+4y$	$120x+180y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=120x+180y$

Las restricciones son el número total de artículos, las horas disponibles y que las cantidades no pueden ser negativas.

$\begin{cases} x+y\leq 45\\ x+4y\leq 60\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\x+4y=60\end{cases} \Rightarrow 4y=60 \Rightarrow A(0,15)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=45\\x+4y=60\end{cases} \Rightarrow 3y=15 \Rightarrow y=5,\ x=40 \Rightarrow C(40,5)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+y=45\\y=0\end{cases} \Rightarrow D(45,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,15)=180\cdot 15=2700\ \text{euros}$

$B(40,5)=120\cdot 40+180\cdot 5=4800+900=5700\ \text{euros}$

$B(45,0)=120\cdot 45=5400\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(40,5)$.

El taller debe vender 40 espejos y 5 cuadros, con lo que obtiene un beneficio máximo de 5700 euros.