Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$ solución de la ecuación matricial $A\cdot X + C = B^t - 2\cdot X$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ agrupando en un miembro los dos términos que la contienen. Como en $A\cdot X$ la incógnita está multiplicada por la izquierda, se saca factor común por la izquierda con ayuda de la matriz identidad.

$A\cdot X+C=B^t-2X \Rightarrow A\cdot X+2X=B^t-C \Rightarrow (A+2I)\cdot X=B^t-C$

Calculamos las dos matrices que intervienen.

$A+2I= \begin{pmatrix}-1&2\\2&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$

$B^t= \begin{pmatrix}0&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$

$B^t-C= \begin{pmatrix}0&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1&-1\\-1&1&3\end{pmatrix}$

La matriz $A+2I$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$|A+2I|= \begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix} =5-4=1\neq 0$

$(A+2I)^{-1}=\dfrac{1}{|A+2I|}\cdot(\operatorname{Adj}(A+2I))^t = \begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}$

Como la incógnita queda multiplicada por la izquierda, se multiplica también por la izquierda por esa inversa.

$X=(A+2I)^{-1}\cdot(B^t-C)= \begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2&1&-1\\-1&1&3\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} -10+2&5-2&-5-6\\ 4-1&-2+1&2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8&3&-11\\3&-1&5\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$A\cdot X+C= \begin{pmatrix}14&-5&21\\-7&3&-7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16&-4&22\\-7&2&-9\end{pmatrix}$

$B^t-2X= \begin{pmatrix}0&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-16&6&-22\\6&-2&10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16&-4&22\\-7&2&-9\end{pmatrix}$

La matriz solución de la ecuación es $X=\begin{pmatrix}-8&3&-11\\3&-1&5\end{pmatrix}$.