Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Se realiza un estudio sobre el contenido de cierta sustancia en una marca de refrescos. De 500 latas analizadas, 120 contenían dicha sustancia.

Calcule un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95 %, para la proporción de latas de esta marca que contenían la sustancia. Razone la respuesta. [2 puntos]

Se trata de estimar una proporción a partir de una muestra grande. La proporción muestral de latas con la sustancia es

$\hat{p}=\dfrac{120}{500}=0{,}24$

Para muestras grandes, la proporción muestral sigue una distribución normal

$\hat{p}\sim N\left(p\,;\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la proporción es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\ ,\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$\sqrt{\dfrac{0{,}24\cdot 0{,}76}{500}}=\sqrt{0{,}0003648}=0{,}0191$

$E=1{,}96\cdot 0{,}0191=0{,}0374$

$(0{,}24-0{,}0374\ ,\ 0{,}24+0{,}0374)=(0{,}2026\ ,\ 0{,}2774)$

Con un nivel de confianza del 95 %, la proporción de latas de esa marca que contienen la sustancia está entre $0{,}2026$ y $0{,}2774$.