Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Un concesionario trabaja con tres marcas de coches: la marca A representa el 60 % de sus ventas, la B el 30 % y la C el resto. En un estudio acerca de las preferencias de los clientes sobre el cambio de marchas (manual, automático) se obtiene que el 70 % de los coches vendidos de la marca A, el 40 % de los de la marca B y el 80 % de los de la marca C tienen el cambio manual. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que el concesionario venda un coche con cambio automático. [1 punto]

b) Sabiendo que un coche vendido tiene el cambio manual, calcule la probabilidad de que sea de la marca C. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el coche vendido es de la marca A,
$B\equiv$ el coche vendido es de la marca B,
$C\equiv$ el coche vendido es de la marca C,
$M\equiv$ el coche tiene el cambio manual.

Las tres marcas forman un sistema completo de sucesos. La marca C es el resto: $100-60-30=10$ %.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que el concesionario venda un coche con cambio automático. [1 punto]}$

Calculamos primero la probabilidad de vender un coche con cambio manual, aplicando el teorema de la probabilidad total, y pasamos después al suceso contrario.

$P(M)=P(A)\cdot P(M/A)+P(B)\cdot P(M/B)+P(C)\cdot P(M/C)$

$P(M)=0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}3\cdot 0{,}4+0{,}1\cdot 0{,}8$

$P(M)=0{,}42+0{,}12+0{,}08=0{,}62$

$P(\overline{M})=1-P(M)=1-0{,}62=0{,}38$

La probabilidad de que el concesionario venda un coche con cambio automático es $0{,}38$.

$\textbf{b) Sabiendo que un coche vendido tiene el cambio manual, calcule la probabilidad de que sea de la marca C. [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori, porque se conoce el efecto y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(C/M)=\dfrac{P(C)\cdot P(M/C)}{P(M)}=\dfrac{0{,}1\cdot 0{,}8}{0{,}62}$

$P(C/M)=\dfrac{0{,}08}{0{,}62}=\dfrac{4}{31}\approx 0{,}1290$

Si el coche vendido tiene el cambio manual, la probabilidad de que sea de la marca C es $\dfrac{4}{31}\approx 0{,}1290$.