Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Determine el área delimitada por la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ y el eje OX entre los valores $x = 0$ y $x = 5$, representando dicha función y el área que se pide. Razone las respuestas. [2 puntos]

La función es una parábola de ramas hacia arriba. Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambia el signo de la función y, con él, el de la integral.

$f(x)=0 \Rightarrow x^2-6x+8=0 \Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\dfrac{6\pm 2}{2}$

$\begin{cases} x=2\\ x=4 \end{cases}$

Los dos cortes están dentro del intervalo $[0,5]$, que queda dividido en tres tramos. Se estudia el signo de la función en cada uno.

$f(0)=8>0 \qquad f(3)=9-18+8=-1<0 \qquad f(5)=25-30+8=3>0$



El área es la suma de los valores absolutos de las integrales en los tres tramos. Calculamos primero una primitiva.

$\int(x^2-6x+8)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-3x^2+8x$

Aplicando la regla de Barrow en cada tramo:

$\int_{0}^{2}(x^2-6x+8)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}-3x^2+8x\right]_{0}^{2} =\dfrac{8}{3}-12+16=\dfrac{20}{3}$

$\int_{2}^{4}(x^2-6x+8)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}-3x^2+8x\right]_{2}^{4} =\left(\dfrac{64}{3}-48+32\right)-\dfrac{20}{3} =\dfrac{16}{3}-\dfrac{20}{3}=-\dfrac{4}{3}$

$\int_{4}^{5}(x^2-6x+8)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}-3x^2+8x\right]_{4}^{5} =\left(\dfrac{125}{3}-75+40\right)-\dfrac{16}{3} =\dfrac{20}{3}-\dfrac{16}{3}=\dfrac{4}{3}$

Sumamos los tres valores absolutos:

$S=\dfrac{20}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{28}{3}\approx 9{,}33$

El área delimitada por la función y el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=5$ es de $\dfrac{28}{3}$ unidades de superficie, aproximadamente $9{,}33$.