Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Una empresa constructora tiene que afrontar gastos de suelo y gastos de edificación, (en miles de euros), que dependen de la distancia al centro, $x$, (en km). Dichos gastos vienen dados, respectivamente, por las funciones

$S(x) = 10x + 100, \quad 0 \le x \le 25 \qquad \text{y} \qquad E(x) = -x^2 + 10x + 200, \quad 0 \le x \le 25$

Determine, justificando las respuestas:

a) La expresión $G(x)$ que indica los gastos totales de la constructora en función de la distancia al centro de la ciudad donde se realice la obra. [0,5 puntos]

b) A qué distancias del centro los gastos de construcción son máximos y mínimos, así como el valor de dichos gastos. [1,5 puntos]

$\textbf{a) La expresión } \boldsymbol{G(x)}\textbf{ que indica los gastos totales de la constructora en función de la distancia al centro de la ciudad donde se realice la obra. [0,5 puntos]}$

Los gastos totales son la suma de los gastos de suelo y los de edificación.

$G(x)=S(x)+E(x)=(10x+100)+(-x^2+10x+200)$

$G(x)=-x^2+20x+300, \qquad 0\leq x\leq 25$

$\textbf{b) A qué distancias del centro los gastos de construcción son máximos y mínimos, así como el valor de dichos gastos. [1,5 puntos]}$

Los gastos están definidos en el intervalo cerrado $[0,25]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos e igualamos a cero.

$G'(x)=-2x+20$

$G'(x)=0 \Rightarrow -2x+20=0 \Rightarrow x=10$

Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro de ese punto.

$G'(0)=20>0 \qquad G'(20)=-40+20=-20<0$



Los gastos crecen en $(0,10)$ y decrecen en $(10,25)$, así que en $x=10$ hay un máximo relativo, cosa que confirma la segunda derivada, $G''(x)=-2<0$. Se comparan ahora los valores en el punto crítico y en los extremos del intervalo.

$G(0)=300\ \text{miles de euros}$

$G(10)=-100+200+300=400\ \text{miles de euros}$

$G(25)=-625+500+300=175\ \text{miles de euros}$

Los gastos son máximos a 10 km del centro, donde ascienden a 400 mil euros, y mínimos a 25 km del centro, donde son de 175 mil euros.