Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica móviles y tabletas que después vende a 720 euros y 540 euros la unidad, respectivamente. Por cuestiones logísticas, no puede fabricar semanalmente más de 800 móviles ni más de 600 tabletas, ni más de 1.000 entre los dos productos.

Suponiendo que vende todo el material que fabrica, calcule, justificando las respuestas, el número de móviles y de tabletas que debe fabricar semanalmente para obtener unos ingresos máximos y el valor de dichos ingresos máximos. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de móviles e $y$ al número de tabletas que fabrica la empresa cada semana.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Unidades}$	$\text{Ingresos (euros)}$ Móviles	$x$	$720x$ Tabletas	$y$	$540y$ Totales	$x+y$	$720x+540y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, son los ingresos semanales:

$I(x,y)=720x+540y$

Las restricciones son los tres topes de fabricación y que las cantidades no pueden ser negativas.

$\begin{cases} x\leq 800\\ y\leq 600\\ x+y\leq 1000\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\y=600\end{cases} \Rightarrow A(0,600)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}y=600\\x+y=1000\end{cases} \Rightarrow x=400 \Rightarrow B(400,600)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x=800\\x+y=1000\end{cases} \Rightarrow y=200 \Rightarrow C(800,200)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x=800\\y=0\end{cases} \Rightarrow D(800,0)$

Valoramos la función de ingresos en cada uno de los vértices.

$I(0,0)=0\ \text{euros}$

$I(0,600)=540\cdot 600=324000\ \text{euros}$

$I(400,600)=720\cdot 400+540\cdot 600=288000+324000=612000\ \text{euros}$

$I(800,200)=720\cdot 800+540\cdot 200=576000+108000=684000\ \text{euros}$

$I(800,0)=720\cdot 800=576000\ \text{euros}$

El mayor de los cinco valores se alcanza en el vértice $C(800,200)$.

La empresa debe fabricar cada semana 800 móviles y 200 tabletas, con lo que obtiene unos ingresos máximos de 684000 euros.