Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices siguientes: $A = \begin{pmatrix} -1 & x \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se pide, justificando las respuestas:

a) Determine el valor de $x$ para que se verifique que $A^2 = -I$. [1 punto]

b) Para el valor de $x$ obtenido en el apartado anterior, determine la matriz $A^{43}$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine el valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ para que se verifique que } \boldsymbol{A^2=-I}\textbf{. [1 punto]}$

Se calcula el cuadrado de la matriz en función del parámetro y se impone después la igualdad elemento a elemento.

$A^2= \begin{pmatrix}-1&x\\-2&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1&x\\-2&1\end{pmatrix}$

$A^2= \begin{pmatrix} (-1)(-1)+x(-2)&(-1)x+x\cdot 1\\ (-2)(-1)+1\cdot(-2)&(-2)x+1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2x&0\\ 0&1-2x \end{pmatrix}$

Los elementos de fuera de la diagonal son nulos para cualquier valor de $x$, así que basta imponer la igualdad en la diagonal.

$1-2x=-1 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$

Para $x=1$ se cumple $A^2=-I$.

$\textbf{b) Para el valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ obtenido en el apartado anterior, determine la matriz } \boldsymbol{A^{43}}\textbf{. [1 punto]}$

No hay que multiplicar cuarenta y tres veces la matriz: la relación $A^2=-I$ permite reducir el exponente. Se escribe 43 como el par más próximo por debajo más uno.

$A^{43}=A^{42}\cdot A=(A^2)^{21}\cdot A$

$(A^2)^{21}=(-I)^{21}=-I$

porque 21 es impar y $(-I)^{21}=(-1)^{21}I$.

$A^{43}=-I\cdot A=-A= \begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}$

La matriz pedida es $A^{43}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}$.