Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 3 & 3 \\ -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Halle la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $X\cdot A - A^t = B$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial. Como está multiplicada por la derecha por $A$, hay que multiplicar por la derecha por la inversa de $A$.

$X\cdot A-A^t=B \Rightarrow X\cdot A=B+A^t$

$A^t= \begin{pmatrix} 0&-1&2\\ 1&-1&-3\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}$

$B+A^t= \begin{pmatrix} 1&3&-5\\ 1&3&3\\ -3&-1&2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&-1&2\\ 1&-1&-3\\ 0&1&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&-3\\ 2&2&0\\ -3&0&1 \end{pmatrix}$

La matriz $A$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$|A|= \begin{vmatrix} 0&1&0\\ -1&-1&1\\ 2&-3&-1 \end{vmatrix} =-1\cdot \begin{vmatrix}-1&1\\2&-1\end{vmatrix} =-1\cdot(1-2)=1\neq 0$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} 4&1&5\\ 1&0&2\\ 1&0&1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 4&1&1\\ 1&0&0\\ 5&2&1 \end{pmatrix}$

Se multiplica por la derecha, que es el lado por el que aparece $A$ en la ecuación.

$X=(B+A^t)\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&2&-3\\ 2&2&0\\ -3&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4&1&1\\ 1&0&0\\ 5&2&1 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} 4+2-15&1+0-6&1+0-3\\ 8+2+0&2+0+0&2+0+0\\ -12+0+5&-3+0+2&-3+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9&-5&-2\\ 10&2&2\\ -7&-1&-2 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado: $X\cdot A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\2&2&0\\-3&0&1\end{pmatrix}$, que es justamente $B+A^t$.

La matriz solución de la ecuación es $X=\begin{pmatrix}-9&-5&-2\\10&2&2\\-7&-1&-2\end{pmatrix}$.