Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Se quiere realizar un estudio sobre la proporción de clubes de fútbol en situación de bancarrota. Como dicha proporción es desconocida, asumimos de principio un valor $P = 0{,}5$.

Se pide determinar el número mínimo de clubes que hay que examinar si deseamos calcular un intervalo de confianza para dicha proporción con un nivel de confianza del 95 % y cuya longitud sea inferior a 0,1. Razone la respuesta. [2 puntos]

La longitud del intervalo de confianza para una proporción es el doble del error máximo admisible, de modo que la condición del enunciado se traduce en una desigualdad de la que se despeja el tamaño de la muestra.

$\text{Longitud}=2E=2z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{P(1-P)}{n}}$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.



Con $P=0{,}5$ se impone que la longitud sea menor que $0{,}1$.

$2\cdot 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}5\cdot 0{,}5}{n}}<0{,}1$

$3{,}92\cdot\dfrac{0{,}5}{\sqrt{n}}<0{,}1 \Rightarrow \dfrac{1{,}96}{\sqrt{n}}<0{,}1$

$\sqrt{n}>\dfrac{1{,}96}{0{,}1}=19{,}6$

$n>19{,}6^2=384{,}16$

Como el número de clubes debe ser entero, se toma el primer entero que supera ese valor.

Hay que examinar como mínimo 385 clubes de fútbol para que el intervalo de confianza al 95 % tenga una longitud inferior a 0,1.