Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

El tiempo que se emplea en montar un determinado producto en una fábrica se distribuye de acuerdo con una distribución normal con desviación típica 10 minutos. Se cronometra el montaje de 49 productos, resultando un tiempo medio de 45 minutos.

Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 90 %, para el tiempo medio de montaje de dicho producto. Razone la respuesta. [2 puntos]

El tiempo de montaje sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=10$ minutos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=49$ y $\bar{x}=45$ minutos. Con un nivel de confianza del 90 % se tiene $1-\alpha=0{,}9$, es decir $\alpha=0{,}1$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{10}{\sqrt{49}}=\dfrac{10}{7}=1{,}43$

$E=1{,}645\cdot\dfrac{10}{7}=2{,}35$

$(45-2{,}35\ ,\ 45+2{,}35)=(42{,}65\ ,\ 47{,}35)$

Con un nivel de confianza del 90 %, el tiempo medio de montaje del producto está entre $42{,}65$ y $47{,}35$ minutos.