Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Cierto programa de televisión predice lluvia el 20 % de los días. Si se sabe que el programa ha predicho lluvia, la probabilidad de que realmente llueva es de 0,9. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcule la probabilidad de que el programa prediga lluvia y realmente llueva. [1 punto]

b) Si se sabe que el 15 % de los días llueve, calcule la probabilidad de que o bien el programa prediga lluvia o bien realmente llueva. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$Pr\equiv$ el programa predice lluvia,
$L\equiv$ realmente llueve.

Los datos del enunciado son $P(Pr)=0{,}2$ y $P(L/Pr)=0{,}9$.

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que el programa prediga lluvia y realmente llueva. [1 punto]}$

Se pide la probabilidad de la intersección, que se obtiene de la definición de probabilidad condicionada.

$P(L/Pr)=\dfrac{P(Pr\cap L)}{P(Pr)} \Rightarrow P(Pr\cap L)=P(Pr)\cdot P(L/Pr)$

$P(Pr\cap L)=0{,}2\cdot 0{,}9=0{,}18$

La probabilidad de que el programa prediga lluvia y realmente llueva es $0{,}18$.

$\textbf{b) Si se sabe que el 15 \% de los días llueve, calcule la probabilidad de que o bien el programa prediga lluvia o bien realmente llueva. [1 punto]}$

El dato nuevo es $P(L)=0{,}15$, y se pide la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles.

$P(Pr\cup L)=P(Pr)+P(L)-P(Pr\cap L)$

$P(Pr\cup L)=0{,}2+0{,}15-0{,}18=0{,}17$

La probabilidad de que el programa prediga lluvia o de que realmente llueva es $0{,}17$.

Conviene observar que los datos del enunciado no son coherentes entre sí: la intersección obtenida en el primer apartado, $0{,}18$, es mayor que la probabilidad de que llueva, $0{,}15$, lo cual es imposible porque $Pr\cap L$ está contenido en $L$. Se ha operado con los valores tal y como los da el enunciado.