Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Determine el área delimitada por la función $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ y el eje OX entre los valores $x = 0$ y $x = 4$, representando dicha función y el área que se pide. Razone las respuestas. [2 puntos]

La función es una parábola de ramas hacia abajo. Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambia el signo de la función y, con él, el de la integral.

$f(x)=0 \Rightarrow -x^2+4x-3=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}$

$\begin{cases} x=1\\ x=3 \end{cases}$

Los dos cortes están dentro del intervalo $[0,4]$, que queda dividido en tres tramos. Se estudia el signo de la función en cada uno.

$f(0)=-3<0 \qquad f(2)=-4+8-3=1>0 \qquad f(4)=-16+16-3=-3<0$



El área es la suma de los valores absolutos de las integrales en los tres tramos. Calculamos primero una primitiva.

$\int(-x^2+4x-3)\,dx=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x$

Aplicando la regla de Barrow en cada tramo:

$\int_{0}^{1}(-x^2+4x-3)\,dx= \left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]_{0}^{1} =-\dfrac{1}{3}+2-3=-\dfrac{4}{3}$

$\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx= \left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]_{1}^{3} =(-9+18-9)-\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$

$\int_{3}^{4}(-x^2+4x-3)\,dx= \left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]_{3}^{4} =\left(-\dfrac{64}{3}+32-12\right)-0=-\dfrac{4}{3}$

Sumamos los tres valores absolutos:

$S=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=4$

El área delimitada por la función y el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=4$ es de 4 unidades de superficie.