Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2023

El valor (en euros) de cada acción de una determinada empresa del IBEX-35, $V(t)$, durante las 8 horas de duración de la sesión bursátil, depende del tiempo, $t$, (en horas) que ha transcurrido desde que se inició dicha sesión, según la función

$V(t) = 60 + 84t - 27t^2 + 2t^3, \qquad 0 \le t \le 8$

Se pide, razonando las respuestas:

a) Determine los intervalos de tiempo a lo largo de la sesión bursátil en que el valor de la acción se ha incrementado y los intervalos en que el valor de la acción ha disminuido. [1,25 puntos]

b) Establezca los valores inicial y final de la acción y represente gráficamente la evolución del valor de la acción a lo largo de la sesión bursátil. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determine los intervalos de tiempo a lo largo de la sesión bursátil en que el valor de la acción se ha incrementado y los intervalos en que el valor de la acción ha disminuido. [1,25 puntos]}$

El valor de la acción crece donde su derivada es positiva y decrece donde es negativa, así que derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar el crecimiento.

$V'(t)=84-54t+6t^2$

$V'(t)=0 \Rightarrow 6(t^2-9t+14)=0 \Rightarrow t=\dfrac{9\pm\sqrt{81-56}}{2}=\dfrac{9\pm 5}{2}$

$\begin{cases} t=2\\ t=7 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[0,8]$ de la sesión. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$V'(1)=84-54+6=36>0 \qquad V'(4)=84-216+96=-36<0 \qquad V'(8)=84-432+384=36>0$



El valor de la acción se incrementa durante las dos primeras horas de la sesión y durante la última, es decir, en $(0,2)\cup(7,8)$, y disminuye entre la segunda y la séptima hora, es decir, en $(2,7)$.

$\textbf{b) Establezca los valores inicial y final de la acción y represente gráficamente la evolución del valor de la acción a lo largo de la sesión bursátil. [0,75 puntos]}$

El valor inicial es el que toma la función al empezar la sesión y el final el que toma al terminarla.

$V(0)=60\ \text{euros}$

$V(8)=60+84\cdot 8-27\cdot 64+2\cdot 512=60+672-1728+1024=28\ \text{euros}$

Para dibujar la curva conviene conocer también los valores en los dos extremos relativos.

$V(2)=60+168-108+16=136\ \text{euros}$

$V(7)=60+588-1323+686=11\ \text{euros}$

La acción abre a 60 euros, sube hasta un máximo de 136 euros a las dos horas, baja hasta un mínimo de 11 euros a las siete horas y cierra la sesión en 28 euros.