Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Los ingresos, $I(t)$, y los gastos, $G(t)$, en euros, de una tienda de paquetería que está abierta desde las 9 hasta las 14 horas dependen de la hora del día, según las siguientes expresiones:

$I(t) = t^2 + At, \quad 9 \le t \le 14 \qquad \text{y} \qquad G(t) = 3At - (A^2 + B), \quad 9 \le t \le 14$

a) Calcule la función $B(t)$ que relaciona los beneficios obtenidos con la hora del día. [0,5 puntos]

b) Sabiendo que a las 12 horas se obtiene el beneficio mínimo de 150 euros, determine, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la función } \boldsymbol{B(t)}\textbf{ que relaciona los beneficios obtenidos con la hora del día. [0,5 puntos]}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos.

$B(t)=I(t)-G(t)=t^2+At-\left(3At-(A^2+B)\right)$

$B(t)=t^2+At-3At+A^2+B$

$B(t)=t^2-2At+A^2+B, \qquad 9\leq t\leq 14$

$\textbf{b) Sabiendo que a las 12 horas se obtiene el beneficio mínimo de 150 euros, determine, justificando la respuesta, las constantes } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Que el mínimo se alcance en $t=12$ significa que la derivada se anula en ese punto; que el beneficio mínimo sea de 150 euros, que la función vale 150 allí. Son las dos condiciones que fijan las constantes.

$B'(t)=2t-2A$

$B'(12)=0 \Rightarrow 24-2A=0 \Rightarrow A=12$

Se comprueba que en ese punto hay realmente un mínimo, porque la segunda derivada es positiva.

$B''(t)=2>0$

Con $A=12$ se impone ahora que el beneficio en $t=12$ sea de 150 euros.

$B(12)=12^2-2\cdot 12\cdot 12+12^2+B=144-288+144+B=B$

$B=150$

La función de beneficios queda entonces

$B(t)=t^2-24t+294=(t-12)^2+150$

que efectivamente alcanza su valor mínimo, 150 euros, a las 12 horas.

Las constantes buscadas son $A=12$ y $B=150$.