Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de compra y venta de vehículos usados compra coches y motocicletas, obteniendo un beneficio de 500 euros por cada coche y 400 euros por cada motocicleta al, posteriormente, venderlos. Se sabe que dispone de 300.000 euros para comprar vehículos al precio de 3.000 euros cada coche y 2.000 euros cada motocicleta y que, por limitaciones de espacio, no puede comprar más de 125 vehículos.

Calcule, justificando las respuestas, el número de coches y motocicletas que debe comprar para hacer máximos los beneficios y el valor de dichos beneficios máximos. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de coches e $y$ al número de motocicletas que compra la empresa.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Coste (euros)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Coches	$3000x$	$500x$ Motocicletas	$2000y$	$400y$ Totales	$3000x+2000y$	$500x+400y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=500x+400y$

Las restricciones son el dinero disponible, el espacio y que el número de vehículos no puede ser negativo.

$3000x+2000y\leq 300000 \Rightarrow 3x+2y\leq 300$

$\begin{cases} 3x+2y\leq 300\\ x+y\leq 125\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\x+y=125\end{cases} \Rightarrow A(0,125)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}3x+2y=300\\x+y=125\end{cases} \Rightarrow 3x+2(125-x)=300 \Rightarrow x=50,\ y=75 \Rightarrow B(50,75)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}3x+2y=300\\y=0\end{cases} \Rightarrow 3x=300 \Rightarrow C(100,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,125)=400\cdot 125=50000\ \text{euros}$

$B(50,75)=500\cdot 50+400\cdot 75=25000+30000=55000\ \text{euros}$

$B(100,0)=500\cdot 100=50000\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(50,75)$.

La empresa debe comprar 50 coches y 75 motocicletas, con lo que obtiene un beneficio máximo de 55000 euros.