Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sea $A$ la matriz siguiente:

$A = \begin{pmatrix} 2 & x & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & x \end{pmatrix}$

Se pide, justificando las respuestas:

a) Determine para qué valores de $x$ existe la inversa de $A$. [1 punto]

b) Para $x = 1$, calcule la matriz $X$ tal que $X\cdot A = I + A$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ existe la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula el determinante en función del parámetro y se estudia cuándo se anula. Lo desarrollamos por los adjuntos de la primera fila.

$|A|= \begin{vmatrix} 2&x&1\\ 4&-2&0\\ 2&-1&x \end{vmatrix} =2\begin{vmatrix}-2&0\\-1&x\end{vmatrix} -x\begin{vmatrix}4&0\\2&x\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}4&-2\\2&-1\end{vmatrix}$

$|A|=2(-2x)-x(4x)+(-4+4)=-4x-4x^2=-4x(x+1)$

$-4x(x+1)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0\\ x=-1 \end{cases}$

La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $x$ salvo $x=0$ y $x=-1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{x=1}\textbf{, calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ tal que } \boldsymbol{X\cdot A=I+A}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad de orden 3. [1 punto]}$

Para $x=1$ el determinante vale $-4\cdot 1\cdot 2=-8\neq 0$, de modo que la matriz es invertible. Como en $X\cdot A$ la incógnita está multiplicada por la derecha, se multiplica por la derecha por la inversa.

$X\cdot A=I+A \Rightarrow X=(I+A)\cdot A^{-1}=A^{-1}+A\cdot A^{-1}=I+A^{-1}$

Basta, por tanto, con calcular la inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

$A= \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 4&-2&0\\ 2&-1&1 \end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} -2&-4&0\\ -2&0&4\\ 2&4&-8 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^t =\dfrac{1}{-8} \begin{pmatrix} -2&-2&2\\ -4&0&4\\ 0&4&-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&-\dfrac{1}{4}\\ \dfrac{1}{2}&0&-\dfrac{1}{2}\\ 0&-\dfrac{1}{2}&1 \end{pmatrix}$

$X=I+A^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{5}{4}&\dfrac{1}{4}&-\dfrac{1}{4}\\ \dfrac{1}{2}&1&-\dfrac{1}{2}\\ 0&-\dfrac{1}{2}&2 \end{pmatrix}$

Se comprueba que $X\cdot A=I+A$, pues $(I+A^{-1})\cdot A=A+I$.

La matriz buscada es $X=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}5&1&-1\\2&4&-2\\0&-2&8\end{pmatrix}$.