Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

El gasto mensual en electricidad de los hogares de cierta localidad es una variable que se ajusta a una distribución normal con desviación típica 16 euros. Se examinan las facturas de 81 hogares elegidos al azar, resultando un gasto promedio de 72 euros. Se pide, justificando las respuestas:

a) Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 90 %, para el gasto medio mensual en electricidad de dicha localidad. [1,5 puntos]

b) En base a dicho intervalo, ¿podemos decir que el gasto medio mensual en electricidad superó los 70 euros en dicha localidad? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 90 \%, para el gasto medio mensual en electricidad de dicha localidad. [1,5 puntos]}$

La variable gasto mensual sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=16$ euros. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=81$ y $\bar{x}=72$ euros. Con un nivel de confianza del 90 % se tiene $1-\alpha=0{,}9$, es decir $\alpha=0{,}1$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{16}{\sqrt{81}}=\dfrac{16}{9}=1{,}78$

$E=1{,}645\cdot\dfrac{16}{9}=2{,}92$

$(72-2{,}92\ ,\ 72+2{,}92)=(69{,}08\ ,\ 74{,}92)$

Con un nivel de confianza del 90 %, el gasto medio mensual en electricidad de la localidad está entre $69{,}08$ y $74{,}92$ euros.



$\textbf{b) En base a dicho intervalo, ¿podemos decir que el gasto medio mensual en electricidad superó los 70 euros en dicha localidad? [0,5 puntos]}$

Basta comprobar si el valor 70 queda o no dentro del intervalo obtenido.

$69{,}08<70<74{,}92$

El valor 70 pertenece al intervalo de confianza, de modo que es un valor admisible para el gasto medio de la localidad y no se puede descartar. Por tanto, con ese nivel de confianza no se puede afirmar que el gasto medio mensual en electricidad superara los 70 euros.