Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Las llamadas telefónicas que recibe un usuario se dividen en tres tipos: personales (50 %), laborales (30 %) y comerciales (20 %). Los usuarios atienden adecuadamente un 60 % de las llamadas personales, un 90 % de las laborales y un 20 % de las comerciales. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcule la probabilidad de que una llamada no sea atendida adecuadamente. [1 punto]

b) Sabiendo que una llamada es atendida adecuadamente, calcule la probabilidad de que sea comercial. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$P\equiv$ la llamada es personal,
$L\equiv$ la llamada es laboral,
$C\equiv$ la llamada es comercial,
$A\equiv$ la llamada se atiende adecuadamente.

Los tres tipos de llamada forman un sistema completo de sucesos.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que una llamada no sea atendida adecuadamente. [1 punto]}$

Calculamos primero la probabilidad de que una llamada sí se atienda, aplicando el teorema de la probabilidad total, y después pasamos al suceso contrario.

$P(A)=P(P)\cdot P(A/P)+P(L)\cdot P(A/L)+P(C)\cdot P(A/C)$

$P(A)=0{,}5\cdot 0{,}6+0{,}3\cdot 0{,}9+0{,}2\cdot 0{,}2$

$P(A)=0{,}3+0{,}27+0{,}04=0{,}61$

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}61=0{,}39$

La probabilidad de que una llamada no sea atendida adecuadamente es $0{,}39$.

$\textbf{b) Sabiendo que una llamada es atendida adecuadamente, calcule la probabilidad de que sea comercial. [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori, porque el suceso condicionante es posterior en el tiempo a la causa que se pregunta. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(C/A)=\dfrac{P(C)\cdot P(A/C)}{P(A)}=\dfrac{0{,}2\cdot 0{,}2}{0{,}61}$

$P(C/A)=\dfrac{0{,}04}{0{,}61}=\dfrac{4}{61}\approx 0{,}0656$

Si una llamada ha sido atendida adecuadamente, la probabilidad de que sea comercial es $\dfrac{4}{61}\approx 0{,}0656$.