Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Determine el área delimitada por la función $f(x) = -x^2 + 1$ y el eje OX entre los valores $x = -2$ y $x = 3$, representando dicha función y el área que se pide. Razone las respuestas. [2 puntos]

La función es una parábola de ramas hacia abajo. Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambia el signo de la función y, con él, el signo de la integral.

$f(x)=0 \Rightarrow -x^2+1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$

Los dos cortes están dentro del intervalo $[-2,3]$, que queda dividido en tres tramos. Se estudia el signo de la función en cada uno.

$f(-2)=-3<0 \qquad f(0)=1>0 \qquad f(2)=-3<0$



El área es la suma de los valores absolutos de las integrales en los tres tramos. Calculamos primero una primitiva.

$\int(-x^2+1)\,dx=-\dfrac{x^3}{3}+x$

Aplicando la regla de Barrow en cada tramo:

$\int_{-2}^{-1}(-x^2+1)\,dx= \left[-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{-2}^{-1} =\left(\dfrac{1}{3}-1\right)-\left(\dfrac{8}{3}-2\right) =-\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}$

$\int_{-1}^{1}(-x^2+1)\,dx= \left[-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{1} =\left(-\dfrac{1}{3}+1\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right) =\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$

$\int_{1}^{3}(-x^2+1)\,dx= \left[-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{1}^{3} =\left(-9+3\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+1\right) =-6-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{20}{3}$

Sumamos los tres valores absolutos:

$S=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=\dfrac{28}{3}\approx 9{,}33$

El área delimitada por la función y el eje $OX$ entre $x=-2$ y $x=3$ es de $\dfrac{28}{3}$ unidades de superficie, aproximadamente $9{,}33$.