Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Cierta bebida contiene una cantidad de aditivo, $x$, que puede oscilar entre 1 y 6 gramos. Se sabe que el consumo anual medio por persona, $C(x)$ en litros, depende de la cantidad de aditivo de acuerdo con la función

$C(x) = 30 + 6x^2 - x^3, \qquad 1 \le x \le 6$

Se pide, razonando las respuestas:

a) Determine para qué cantidades de aditivo se alcanza el consumo máximo y el mínimo de dicha bebida y a cuántos litros ascienden estos consumos máximo y mínimo. [1,5 puntos]

b) Represente gráficamente la evolución del consumo en función de la cantidad de aditivo que contiene la bebida. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine para qué cantidades de aditivo se alcanza el consumo máximo y el mínimo de dicha bebida y a cuántos litros ascienden estos consumos máximo y mínimo. [1,5 puntos]}$

El consumo está definido en el intervalo cerrado $[1,6]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$C'(x)=12x-3x^2=3x(4-x)$

$C'(x)=0 \Rightarrow 3x(4-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0\\ x=4 \end{cases}$

Se descarta $x=0$ por no pertenecer al intervalo de estudio. Estudiamos el signo de la derivada a un lado y a otro de $x=4$.

$C'(2)=24-12=12>0 \qquad C'(5)=60-75=-15<0$



El consumo crece en $(1,4)$ y decrece en $(4,6)$, así que en $x=4$ hay un máximo relativo. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo.

$C(1)=30+6-1=35\ \text{litros}$

$C(4)=30+6\cdot 16-64=30+96-64=62\ \text{litros}$

$C(6)=30+6\cdot 36-216=30+216-216=30\ \text{litros}$

El consumo máximo es de 62 litros por persona y año y se alcanza con 4 gramos de aditivo; el consumo mínimo es de 30 litros y corresponde a 6 gramos de aditivo.

$\textbf{b) Represente gráficamente la evolución del consumo en función de la cantidad de aditivo que contiene la bebida. [0,5 puntos]}$

Con la información del apartado anterior se dibuja la curva: parte del punto $(1,35)$, crece hasta el máximo $(4,62)$ y decrece después hasta el punto $(6,30)$.