Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un charcutero dispone de 390 chorizos y 480 salchichones para su venta y los organiza en dos tipos de lotes A y B. Cada lote de tipo A contiene 6 chorizos y 6 salchichones, reportándole un beneficio de 20 euros. Por otra parte, cada lote de tipo B está compuesto por 10 chorizos y 16 salchichones, con un beneficio de 36 euros.

Calcule, justificando la respuesta, el número de lotes de cada tipo que debe vender para obtener un beneficio máximo y el valor de dicho beneficio máximo. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de lotes de tipo A e $y$ al número de lotes de tipo B.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Chorizos}$	$\text{Salchichones}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Lotes A	$6x$	$6x$	$20x$ Lotes B	$10y$	$16y$	$36y$ Totales	$6x+10y$	$6x+16y$	$20x+36y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=20x+36y$

Las restricciones son las existencias de cada embutido y el hecho de que el número de lotes no puede ser negativo.

$\{\begin{array}{l}6x+10y\le 390\\ 6x+16y\le 480\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 6x+16y=480\end{array}\Rightarrow 16y=480\Rightarrow A(0,30)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}6x+10y=390\\ 6x+16y=480\end{array}\Rightarrow 6y=90\Rightarrow y=15$

$6x+150=390\Rightarrow x=40\Rightarrow B(40,15)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}6x+10y=390\\ y=0\end{array}\Rightarrow 6x=390\Rightarrow C(65,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\text{ euros}$

$B(0,30)=20\cdot 0+36\cdot 30=1080\text{ euros}$

$B(40,15)=20\cdot 40+36\cdot 15=800+540=1340\text{ euros}$

$B(65,0)=20\cdot 65+36\cdot 0=1300\text{ euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(40,15)$.

El charcutero debe vender 40 lotes de tipo A y 15 lotes de tipo B, con lo que obtiene un beneficio máximo de 1340 euros.