Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un artesano del cuero fabrica y vende exclusivamente carteras, bolsos y mochilas. El precio de venta de cada cartera es de 10 euros, el de cada bolso, 15 euros y el de cada mochila, 20 euros. Cierto día vende 35 artículos, siendo el número de carteras vendidas el mismo que el número de bolsos más el doble del número de mochilas. Por esta venta ingresa un total de 450 euros.

Calcule, justificando la respuesta, el número de artículos de cada tipo que vendió ese día. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de carteras vendidas, $y$ al de bolsos y $z$ al de mochilas.

Ese día vende 35 artículos:

$x+y+z=35$

El número de carteras es el de bolsos más el doble del de mochilas:

$x=y+2z$

Los ingresos totales son de 450 euros, a 10, 15 y 20 euros la unidad:

$10x+15y+20z=450$

Reunimos las tres condiciones en un sistema:

$\begin{cases} x+y+z=35\\ x=y+2z\\ 10x+15y+20z=450 \end{cases}$

Se resuelve por sustitución, llevando la segunda ecuación a las otras dos.

$(y+2z)+y+z=35 \Rightarrow 2y+3z=35$

$10(y+2z)+15y+20z=450 \Rightarrow 25y+40z=450 \Rightarrow 5y+8z=90$

Despejamos $y$ de la primera y sustituimos en la segunda.

$y=\dfrac{35-3z}{2} \Rightarrow 5\cdot\dfrac{35-3z}{2}+8z=90$

$175-15z+16z=180 \Rightarrow z=5$

$y=\dfrac{35-15}{2}=10 \qquad x=10+2\cdot 5=20$

Se comprueban las tres condiciones: $20+10+5=35$, $20=10+2\cdot 5$ y $200+150+100=450$.

Ese día el artesano vendió 20 carteras, 10 bolsos y 5 mochilas.