Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ x & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & x & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz identidad de orden 2, se pide, justificando las respuestas:

a) Calcule los valores del parámetro $x$ para los que la matriz $A\cdot B^t$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $x = -1$, calcule la matriz $Y$ tal que $(A\cdot B^t)\cdot Y = 2\cdot I$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los valores del parámetro } \boldsymbol{x}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{A\cdot B^t}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula primero el producto $A\cdot B^t$.

$B^t= \begin{pmatrix}1&0\\x&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

$A\cdot B^t= \begin{pmatrix}0&1&1\\x&1&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&0\\x&-1\\-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-1&1\\2x-2&3\end{pmatrix}$

$|A\cdot B^t|= \begin{vmatrix}x-1&1\\2x-2&3\end{vmatrix} =3(x-1)-(2x-2)=x-1$

$x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1$

La matriz $A\cdot B^t$ tiene inversa para cualquier valor de $x$ distinto de $1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{x=-1}\textbf{, calcule la matriz } \boldsymbol{Y}\textbf{ tal que } \boldsymbol{(A\cdot B^t)\cdot Y=2\cdot I}\textbf{. [1 punto]}$

Se particulariza la matriz del apartado anterior en $x=-1$.

$A\cdot B^t= \begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix} \qquad |A\cdot B^t|=-1-1=-2\neq 0$

Como el determinante no se anula, la matriz es invertible y se puede despejar $Y$ multiplicando por la izquierda por la inversa.

$(A\cdot B^t)\cdot Y=2I \Rightarrow Y=(A\cdot B^t)^{-1}\cdot 2I=2\,(A\cdot B^t)^{-1}$

$(A\cdot B^t)^{-1}=\dfrac{1}{-2} \begin{pmatrix}3&-1\\4&-2\end{pmatrix}$

$Y=2\cdot\dfrac{1}{-2} \begin{pmatrix}3&-1\\4&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} =2I$

La matriz buscada es $Y=\begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}$.