Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una asociación cultural hay 4.000 personas entre 18 y 30 años, 5.000 entre 30 y 60 años y 1.000 mayores de 60 años. Se desea obtener una muestra de 500 personas para una encuesta sobre la participación de la asociación en un festival de cine. Se pide, razonando las respuestas:

a) ¿Cuántas entrevistas se deberían realizar en cada grupo de edad si atendemos a razones de proporcionalidad? [1 punto]

b) Si el número de encuestados entre 30 y 60 años que se han mostrado favorables a participar en el festival de cine es de 150, dé un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 99 %, para la proporción de socios de este segmento de edad favorables a participar en dicho festival. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuántas entrevistas se deberían realizar en cada grupo de edad si atendemos a razones de proporcionalidad? [1 punto]}$

Se trata de un muestreo estratificado con afijación proporcional: cada estrato aporta a la muestra la misma fracción que representa en la población. La asociación tiene

$4000+5000+1000=10000\ \text{personas}$

y la fracción de muestreo es

$f=\dfrac{500}{10000}=0{,}05$

Se aplica esa fracción a cada grupo de edad.

$n_1=4000\cdot 0{,}05=200 \qquad n_2=5000\cdot 0{,}05=250 \qquad n_3=1000\cdot 0{,}05=50$

Se comprueba que los tres tamaños suman la muestra pedida: $200+250+50=500$.

Deben realizarse 200 entrevistas entre los socios de 18 a 30 años, 250 entre los de 30 a 60 años y 50 entre los mayores de 60 años.

$\textbf{b) Si el número de encuestados entre 30 y 60 años que se han mostrado favorables a participar en el festival de cine es de 150, dé un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 99 \%, para la proporción de socios de este segmento de edad favorables a participar en dicho festival. [1 punto]}$

En ese estrato se han encuestado $n=250$ socios y la proporción muestral favorable es

$\hat{p}=\dfrac{150}{250}=0{,}6$

Para muestras grandes, la proporción muestral sigue una distribución normal

$\hat{p}\sim N\left(p\,;\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la proporción es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\ ,\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 99 % se tiene $1-\alpha=0{,}99$, es decir $\alpha=0{,}01$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=2{,}576$.

$\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{250}}=\sqrt{0{,}00096}=0{,}0310$

$E=2{,}576\cdot 0{,}0310=0{,}0798$

$(0{,}6-0{,}0798\ ,\ 0{,}6+0{,}0798)=(0{,}5202\ ,\ 0{,}6798)$

Con un nivel de confianza del 99 %, la proporción de socios de entre 30 y 60 años favorables a participar en el festival está entre $0{,}5202$ y $0{,}6798$.