Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Determine, razonando la respuesta, las asíntotas de la función

$g(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 5x + 6}$

[2 puntos]

Antes de buscar las asíntotas conviene factorizar el numerador y el denominador, porque comparten un factor y eso cambia el análisis.

$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

El denominador se anula en $x=2$ y en $x=3$, luego el dominio es $\mathbb{R}-\{2,3\}$. Simplificando el factor común:

$g(x)=\dfrac{x(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x^2-x}{x-3}, \qquad x\neq 2$

Asíntotas verticales. Los candidatos son los dos puntos que no pertenecen al dominio.

$\lim_{x\to 2}g(x)=\dfrac{2^2-2}{2-3}=\dfrac{2}{-1}=-2$

El límite es finito, así que en $x=2$ hay una discontinuidad evitable y no una asíntota.

$\lim_{x\to 3^-}g(x)=\dfrac{6}{0^-}=-\infty \qquad \lim_{x\to 3^+}g(x)=\dfrac{6}{0^+}=+\infty$

La recta $x=3$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera en una unidad al del denominador, de modo que la función no tiende a un valor finito en el infinito.

$\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-x}{x-3}=\pm\infty$

No hay asíntotas horizontales, pero por esa misma razón sí hay una asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{g(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-x}{x(x-3)}=1$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(g(x)-x\right) =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-x-x(x-3)}{x-3} =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{x-3}=2$

El mismo resultado se obtiene dividiendo los polinomios:

$\dfrac{x^2-x}{x-3}=x+2+\dfrac{6}{x-3}$

La función tiene una asíntota vertical, la recta $x=3$, y una asíntota oblicua, la recta $y=x+2$, a la que se acerca por las dos ramas; no tiene asíntotas horizontales.