Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

La producción de un árbol frutal, $P(x)$ en kilogramos, depende de la cantidad diaria de agua, $x$ en litros, con la que se riegue de acuerdo con la función

$P(x) = 2x^3 - 21x^2 + 60x + 10, \qquad 0 \le x \le 6$

Se pide, razonando las respuestas:

a) Determine para qué cantidades de agua se alcanzan las producciones máxima y mínima del árbol y a cuánto ascienden estas producciones. [1,5 puntos]

b) Represente gráficamente la producción en función de la cantidad de agua destinada al riego. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine para qué cantidades de agua se alcanzan las producciones máxima y mínima del árbol y a cuánto ascienden estas producciones. [1,5 puntos]}$

La producción está definida en el intervalo cerrado $[0,6]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$P'(x)=6x^2-42x+60$

$P'(x)=0 \Rightarrow 6(x^2-7x+10)=0 \Rightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm 3}{2}$

$\begin{cases} x=2\\ x=5 \end{cases}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos que estos puntos determinan dentro de $[0,6]$.

$P'(0)=60>0 \qquad P'(3)=54-126+60=-12<0 \qquad P'(6)=216-252+60=24>0$



La producción crece en $(0,2)$, decrece en $(2,5)$ y vuelve a crecer en $(5,6)$: hay un máximo relativo en $x=2$ y un mínimo relativo en $x=5$. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

$P(0)=10\ \text{kg}$

$P(2)=2\cdot 8-21\cdot 4+60\cdot 2+10=16-84+120+10=62\ \text{kg}$

$P(5)=2\cdot 125-21\cdot 25+60\cdot 5+10=250-525+300+10=35\ \text{kg}$

$P(6)=2\cdot 216-21\cdot 36+60\cdot 6+10=432-756+360+10=46\ \text{kg}$

La producción máxima es de 62 kilogramos y se consigue regando con 2 litros diarios de agua; la producción mínima es de 10 kilogramos y corresponde a no regar el árbol, es decir, a 0 litros diarios.

$\textbf{b) Represente gráficamente la producción en función de la cantidad de agua destinada al riego. [0,5 puntos]}$

Con la información del apartado anterior se dibuja la curva: parte del punto $(0,10)$, crece hasta el máximo $(2,62)$, decrece hasta el mínimo $(5,35)$ y vuelve a crecer hasta el extremo $(6,46)$.