Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

El consumo de combustible (en miles de litros) de una gran empresa de transporte $C(t)$ depende del tiempo transcurrido desde principios de año, $t$ en meses, según la función

$C(t) = \begin{cases} t^2 - 3Bt + 2A & 1 \le t < 4 \\ Bt & 4 \le t \le 12 \end{cases}$

Determine, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la función $C(t)$ es continua y que el consumo en el mes 3 es de 7 mil litros. [2 puntos]

En cada uno de los dos tramos la función es polinómica y, por tanto, continua. La continuidad solo puede fallar en $t=4$, que es donde cambia la expresión, así que se impone allí la igualdad de los límites laterales; la segunda condición la da el consumo del mes 3.

$\lim_{t\to 4^-}C(t)=\lim_{t\to 4^-}(t^2-3Bt+2A)=16-12B+2A$

$\lim_{t\to 4^+}C(t)=\lim_{t\to 4^+}Bt=4B=C(4)$

Para que $C(t)$ sea continua en $t=4$ los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$16-12B+2A=4B \Rightarrow 2A-16B=-16$

El mes 3 pertenece al primer tramo, porque $1\leq 3<4$, y el consumo en ese mes es de 7 mil litros.

$C(3)=3^2-3B\cdot 3+2A=9-9B+2A=7 \Rightarrow 2A-9B=-2$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\begin{cases} 2A-16B=-16\\ 2A-9B=-2 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda se elimina $A$:

$7B=14 \Rightarrow B=2$

$2A-9\cdot 2=-2 \Rightarrow 2A=16 \Rightarrow A=8$

Se comprueban las dos condiciones con estos valores. En $t=4$: $16-24+16=8$ y $2\cdot 4=8$. En $t=3$: $9-18+16=7$.

Las constantes buscadas son $A=8$ y $B=2$.