Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una almazara peleña comercializa dos tipos de aceite de oliva de excelente calidad: el virgen extra, que se vende a 10 euros el litro, y el de orujo, del que cada litro se vende a 7 euros. Sabemos que por motivos de almacenamiento no puede producir más de un total de 3.000 litros de aceite al día (entre los dos tipos) ni más de 2.000 litros de aceite de orujo y que, para atender a la demanda, la cantidad de aceite de oliva virgen extra que produce debe ser, como mucho, el doble que la de orujo.

Suponiendo que vende todo el aceite que produce, calcule, justificando las respuestas, el número de litros de cada tipo de aceite de oliva que debe producir diariamente esta almazara para obtener unos ingresos máximos, así como el valor de dichos ingresos máximos. [2 puntos]

Llamamos $x$ a los litros diarios de aceite de oliva virgen extra e $y$ a los litros diarios de aceite de orujo.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Litros al día}$	$\text{Ingresos (euros)}$ Virgen extra	$x$	$10x$ Orujo	$y$	$7y$ Totales	$x+y$	$10x+7y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, son los ingresos diarios:

$I(x,y)=10x+7y$

Las restricciones del problema son:

Por almacenamiento no se pueden producir más de 3000 litros en total $\Rightarrow x+y\leq 3000$.

Tampoco más de 2000 litros de orujo $\Rightarrow y\leq 2000$.

El virgen extra es, como mucho, el doble que el de orujo $\Rightarrow x\leq 2y$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\begin{cases} x+y\leq 3000\\ y\leq 2000\\ x\leq 2y\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\y=2000\end{cases} \Rightarrow A(0,2000)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+y=3000\\y=2000\end{cases} \Rightarrow x=1000 \Rightarrow B(1000,2000)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=3000\\x=2y\end{cases} \Rightarrow 2y+y=3000 \Rightarrow y=1000,\ x=2000 \Rightarrow C(2000,1000)$

Valoramos la función de ingresos en cada uno de los vértices.

$I(0,0)=0\ \text{euros}$

$I(0,2000)=10\cdot 0+7\cdot 2000=14000\ \text{euros}$

$I(1000,2000)=10\cdot 1000+7\cdot 2000=24000\ \text{euros}$

$I(2000,1000)=10\cdot 2000+7\cdot 1000=27000\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(2000,1000)$.

La almazara debe producir cada día 2000 litros de aceite de oliva virgen extra y 1000 litros de aceite de orujo, con lo que obtiene unos ingresos máximos de 27000 euros.