Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & x & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ x & -1 \end{pmatrix}$. Se pide, justificando las respuestas:

a) Determine para qué valores de $x$ existe la inversa de $A\cdot B^t + 3C$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de la matriz $B$. [1,5 puntos]

b) Calcule la inversa de $A\cdot B^t$ para $x = 1$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ existe la inversa de } \boldsymbol{A\cdot B^t+3C}\textbf{, siendo } \boldsymbol{B^t}\textbf{ la matriz traspuesta de la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que primero se calcula la matriz $A\cdot B^t+3C$ y después se impone esa condición.

$B^t= \begin{pmatrix}2&-1\\x&0\\0&2\end{pmatrix}$

$A\cdot B^t= \begin{pmatrix}1&0&1\\0&-2&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-1\\x&0\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\-2x&2\end{pmatrix}$

$3C= \begin{pmatrix}0&0\\3x&-3\end{pmatrix}$

$A\cdot B^t+3C= \begin{pmatrix}2&1\\-2x+3x&2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\x&-1\end{pmatrix}$

Se calcula su determinante y se exige que no se anule.

$|A\cdot B^t+3C|= \begin{vmatrix}2&1\\x&-1\end{vmatrix} =-2-x$

$-2-x\neq 0 \Rightarrow x\neq -2$

La matriz $A\cdot B^t+3C$ tiene inversa para cualquier valor de $x$ distinto de $-2$.

$\textbf{b) Calcule la inversa de } \boldsymbol{A\cdot B^t}\textbf{ para } \boldsymbol{x=1}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Se particulariza la matriz $A\cdot B^t$ obtenida en el apartado anterior.

$A\cdot B^t= \begin{pmatrix}2&1\\-2&2\end{pmatrix}$

$|A\cdot B^t|= \begin{vmatrix}2&1\\-2&2\end{vmatrix} =4+2=6\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz es invertible, y se aplica el método de los adjuntos.

$(A\cdot B^t)^{-1} =\dfrac{1}{|A\cdot B^t|}\cdot(\operatorname{Adj}(A\cdot B^t))^t =\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&-1\\2&2\end{pmatrix}$

$(A\cdot B^t)^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{6}\\ \dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$

La inversa de $A\cdot B^t$ para $x=1$ es $\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}2&-1\\2&2\end{pmatrix}$.