Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz identidad de orden 2.

Halle la matriz $X$ que verifique la ecuación matricial $3X - 2I = B^t - A\cdot X$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ agrupando en un miembro los dos términos que la contienen. Como en $A\cdot X$ la incógnita está multiplicada por la izquierda, se saca factor común por la izquierda con ayuda de la matriz identidad.

$3X-2I=B^t-A\cdot X \Rightarrow 3X+A\cdot X=B^t+2I$

$(3I+A)\cdot X=B^t+2I$

Calculamos las dos matrices que intervienen.

$3I+A= \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4&1\\1&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}$

$B^t+2I= \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&2\\1&2\end{pmatrix}$

La matriz $3I+A$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$|3I+A|= \begin{vmatrix}-1&1\\1&0\end{vmatrix} =0-1=-1\neq 0$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

$(3I+A)^{-1} =\dfrac{1}{|3I+A|}\cdot(\operatorname{Adj}(3I+A))^t =\dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix}0&-1\\-1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$

Como la incógnita queda multiplicada por la izquierda, se multiplica también por la izquierda por esa inversa.

$X=(3I+A)^{-1}\cdot(B^t+2I) = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&2\\1&2\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} 0\cdot 2+1\cdot 1 & 0\cdot 2+1\cdot 2\\ 1\cdot 2+1\cdot 1 & 1\cdot 2+1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$3X-2I= \begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&6\\9&10\end{pmatrix}$

$B^t-A\cdot X= \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1&-4\\-8&-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&6\\9&10\end{pmatrix}$

La matriz que verifica la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.