Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule la integral $\displaystyle\int \dfrac{3x}{x^2 - x - 2} \, dx$. [2 puntos]

El integrando es una función racional con el numerador de grado menor que el denominador, así que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^2-x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=2 \\ x=-1\end{cases}$

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

Las dos raíces son reales y simples, luego

$\dfrac{3x}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}$

$3x=A(x+1)+B(x-2)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=2\Rightarrow 6=3A\Rightarrow A=2$

$x=-1\Rightarrow -3=-3B\Rightarrow B=1$

Integramos término a término; las dos son inmediatas de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int\dfrac{3x}{x^2-x-2}\,dx=\int\left(\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+1}\right)dx=2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C$

La integral pedida es $2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C$, que agrupando los logaritmos se escribe también como $\ln\left|(x-2)^2(x+1)\right|+C$.