Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x) = 1 - x^2$ y $g(x) = -3$.

a) Represente la región plana encerrada por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Represente la región plana encerrada por las funciones } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Buscamos primero los puntos de corte, que son los que cierran la región.

$1-x^2=-3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

La primera curva es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,1)$, y la segunda es la recta horizontal $y=-3$. Entre los dos cortes la parábola queda por encima:

$(f-g)(0)=1-(-3)=4>0$



La región es la comprendida entre la parábola, por arriba, y la recta, por abajo, entre las abscisas $x=-2$ y $x=2$.

$\textbf{b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]}$

Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, y aplicamos la regla de Barrow.

$A=\displaystyle\int_{-2}^{2}\left[\left(1-x^2\right)-(-3)\right]dx=\int_{-2}^{2}\left(4-x^2\right)dx$

$=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(8-\dfrac83\right)-\left(-8+\dfrac83\right)=16-\dfrac{16}{3}$

$=\dfrac{48-16}{3}=\dfrac{32}{3}$

El área de la región es de $\frac{32}{3}\approx 10{,}6667$ unidades de área.