Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Calcule los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la siguiente función $f(x)$ es derivable en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

[2 puntos]

Cada trozo de la función es derivable en su intervalo —un polinomio el primero y un logaritmo el segundo, definido para $x>1$—, de modo que lo único que hay que imponer es lo que ocurre en $x=1$, donde cambia la definición.

Para que sea derivable en ese punto tiene que ser antes continua, así que igualamos los límites laterales:

$\lim_{x\to 1^{-}}\left(2x^2+ax+b\right)=2+a+b=f(1)$

$\lim_{x\to 1^{+}}\left(-2+\ln x\right)=-2+\ln 1=-2$

$2+a+b=-2\Rightarrow a+b=-4$

Ahora imponemos que coincidan las derivadas laterales:

$f'(x)=\begin{cases}4x+a & \text{si } x<1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x>1\end{cases}\Rightarrow f'\left(1^{-}\right)=4+a,\quad f'\left(1^{+}\right)=1$

$4+a=1\Rightarrow a=-3$

Y sustituyendo en la primera ecuación:

$b=-4-a=-4+3=-1$

Comprobamos las dos condiciones con estos valores:

$f\left(1^{-}\right)=2-3-1=-2=f\left(1^{+}\right)\qquad f'\left(1^{-}\right)=4-3=1=f'\left(1^{+}\right)$

Los valores pedidos son $a=-3$ y $b=-1$.