Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Sea la función $f(x) = \dfrac{4x}{1 + x^2}$.

a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función $f(x)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El denominador $1+x^2$ no se anula nunca, de modo que el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua y derivable en él.

Asíntotas verticales. No hay ninguna, porque la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador es menor que el del denominador:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{4x}{1+x^2}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Al haberla en las dos ramas, no hay asíntota oblicua.

Monotonía. Derivamos por la regla del cociente y simplificamos:

$f'(x)=\dfrac{4\left(1+x^2\right)-4x\cdot 2x}{\left(1+x^2\right)^2}=\dfrac{4+4x^2-8x^2}{\left(1+x^2\right)^2}=\dfrac{4\left(1-x^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2}$

$f'(x)=0\Rightarrow 1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de $f'$ lo decide $1-x^2$, que es positivo entre $-1$ y $1$:

$f'(-2)=\dfrac{4(1-4)}{25}<0\qquad f'(0)=4>0\qquad f'(2)=\dfrac{4(1-4)}{25}<0$

La función decrece en $(-\infty,-1)$, crece en $(-1,1)$ y vuelve a decrecer en $(1,+\infty)$.

Como pasa de decreciente a creciente en $x=-1$, ahí hay un mínimo relativo, y como pasa de creciente a decreciente en $x=1$, ahí hay un máximo relativo:

$f(-1)=\dfrac{-4}{2}=-2\qquad f(1)=\dfrac{4}{2}=2$

$\textbf{b) Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Añadimos el corte con los ejes, que se obtiene anulando el numerador:

$4x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$



La gráfica es simétrica respecto del origen, porque $f(-x)=-f(x)$: la función es impar, y por eso el mínimo $(-1,-2)$ y el máximo $(1,2)$ son opuestos.