Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Estudie en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones: [1,25 puntos]

$\left.\begin{array}{rcrcrcl} x & & &+& \lambda z &=& 1 \\ x &+& y &+& \lambda z &=& 1 \\ \lambda x &-& y &+& z &=& 1 \end{array}\right\}$

b) Resuelva el sistema (si es posible) para $\lambda = 1$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie en función del parámetro } \boldsymbol{\lambda \in \mathbb{R}}\textbf{ el siguiente sistema de ecuaciones: [1,25 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$M=\begin{pmatrix}1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda \\ \lambda & -1 & 1\end{pmatrix}\qquad M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

$|M|=\begin{vmatrix}1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda \\ \lambda & -1 & 1\end{vmatrix}=1+0-\lambda-\lambda^2+\lambda-0=1-\lambda^2$

$1-\lambda^2=0\Rightarrow \lambda=\pm 1$

Si $\lambda\neq 1$ y $\lambda\neq -1$, entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda=1$:

$M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{vmatrix}=0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^{*})=2$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Para $\lambda=-1$:

$M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\qquad \operatorname{ran}(M)=2$

$\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{vmatrix}=1+0-1+1+1-0=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^{*})=3$

Como los rangos no coinciden, para $\lambda=-1$ el sistema es incompatible.

$\textbf{b) Resuelva el sistema (si es posible) para } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Para $\lambda=1$ el sistema es compatible indeterminado, así que tomamos como parámetro la incógnita que sobra.

$\begin{cases}x+z=1 \\ x+y+z=1 \\ x-y+z=1\end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$y=0$

Con ese valor la tercera ecuación se convierte también en $x+z=1$, de modo que solo queda una condición para dos incógnitas:

$z=t\Rightarrow x=1-t$

Las soluciones para $\lambda=1$ son los infinitos puntos de la recta $(x,y,z)=(1-t,\,0,\,t)$, con $t$ recorriendo los números reales.