Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Se ha hecho un estudio de un famoso jugador de baloncesto de la ACB y se sabe que tiene una probabilidad de encestar un triple del 60 %. Si realiza 8 tiros a canasta:

a) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2. [0,75 puntos]

c) Determine la media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de triples que encesta en los ocho tiros. Cada tiro tiene solo dos resultados posibles, la probabilidad de encestar es la misma en todos y unos no influyen en otros, luego se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(8;\,0{,}6)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples. [0,75 puntos]}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=5$.

$P(X=5)=\binom{8}{5}(0{,}6)^{5}(0{,}4)^{3}=56\cdot 0{,}07776\cdot 0{,}064=0{,}2787$

La probabilidad de que enceste exactamente cinco triples es $0{,}2787$, es decir, un $27{,}87\%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2. [0,75 puntos]}$

Encestar al menos dos obligaría a sumar siete términos, así que pasamos al suceso contrario, que solo tiene dos.

$P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=(0{,}4)^{8}=0{,}00066$

$P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}6)(0{,}4)^{7}=8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}0016384=0{,}00786$

$P(X\geq 2)=1-0{,}00066-0{,}00786=0{,}9915$

La probabilidad de que enceste al menos dos triples es $0{,}9915$, es decir, un $99{,}15\%$.

$\textbf{c) Determine la media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu=n\,p=8\cdot 0{,}6=4{,}8$

$\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4}=\sqrt{1{,}92}\approx 1{,}3856$

El jugador encesta, por término medio, $4{,}8$ triples de cada ocho tiros, con una desviación típica de $1{,}3856$ triples.