Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Resuelva la integral $\displaystyle\int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx$. [2 puntos]

El integrando es una función racional con el numerador de grado menor que el denominador, de modo que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=1 \\ x=-2\end{cases}$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

Las dos raíces son reales y simples, luego

$\dfrac{-x+7}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$

$-x+7=A(x+2)+B(x-1)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=1\Rightarrow 6=3A\Rightarrow A=2$

$x=-2\Rightarrow 9=-3B\Rightarrow B=-3$

Integramos término a término; las dos son inmediatas de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int\dfrac{-x+7}{x^2+x-2}\,dx=\int\left(\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{3}{x+2}\right)dx=2\ln|x-1|-3\ln|x+2|+C$

La integral pedida es $2\ln|x-1|-3\ln|x+2|+C$, que agrupando los logaritmos se escribe también como $\ln\left|\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)^3}\right|+C$.